启发性观察,探索性观察与验证性观察.
科学观察的作用是使我们获得科学事实,得出科学发现,验证科学假说.
科学观察应遵循的基本原则有:
1,科学观察的客观性原则:
在科研中,坚持科学观察的客观性原则,就是要求通过观察获得真实准确的反映客观事物或现象的科学事实,保证科学结论的正确可靠.要做到这一点,就要注意避免主观偏见,错误的联想和错觉的观察的影响,按客观事物的本来面目反映事物,这是进行科学观察的必要前提.
2,科学观察的全面性原则:
科学观察要做到客观的进行观察,还要坚持全面性原则.科学观察的全面性原则,就是全面的,系统的,动态的观察事物.在科研中,坚持全面性原则,对于认识具体事物来说,要尽可能多方面,多角度,多层次的进行观察,把握客观对象的各种特征,从而为系统的,完整的从本质上认识客观事物提供更多的观察事实.同时,在具体观察过程中,既要注意正常的意料之中的实践或现象,更要注意异常的,意料之外的事件或现象,使我们不致放过任何值得追踪的线索,并及时捕捉到可能出现的机遇,作出有意义的发现.
3,科学观察的典型性原则:
在科研中,科学观察的典型性原则,是指观察中要选择具有代表性的观察对象,掌握良好的观察时机和便于观察的地点,其目的在于简化观察过程,保证检查结果具有典型意义.
4,科学观察的灵活性原则:
灵活把握观察的时间和地点,以及观察中出现的新现象.总之,在科研中,只要遵循上述原则和要求,辨证得处理它们之间的关系,就可在科学观察中获得丰富可靠的科学事实,为提出科学假说,建立科学理论奠定坚实的基础.

科学实验:
1,科学实验是指人们根据研究的目的,利用科学仪器和设备,主动的干预和控制研究对象,从而在典型或特定的条件下,获取科学事实的一种研究方法.
2,科学实验的要素包括:实验者,实验工具,实验对象.
3,实验的类型:探索性与验证性;定性与定量;析因性与对比性;保护性与扰动性.
4,实验的作用:
创造新条件,人为得促成某种选定的相互作用;
简化自然过程,突出主要因素;
纯化自然过程,接近纯净,理想状态;强化自然过程,创造极端环境条件;加速研究对象的运动变化过程;
减速研究多项的运动变化过程;再现研究对象的运动变化过程;验证和发展科学理论.

理想试验与科学实验的区别:
1,科学实验是指人们根据研究的目的,利用科学仪器和设备,主动干预和控制研究对象,从而在特定条件下获得科学事实的方法;理想实验是人们在思维中运用理想模型,塑造理想过程,进行逻辑推理的思维活动过程;
2,理想实验与科学实验的区别在于:
前者是一种思维活动,后者是一种实践活动;
理想实验作为科学实验的补充手段,可超越客观条件的范围,达到简化和理想化程度,它可以导致新的科学理论的建立,是提出科学假设的重要途径.






科学抽象:科研中运用思维的能力,透过事物的各种现象,抽出其本质规律的一种方法.
科学抽象的形式;由理想化的方法到理想模型,再到理想试验,科学实验.
科学抽象及其深化环节:科学抽象是在科研中,运用思维能力,透过事务的各种现象,抽出其本质与规律的一种方法.
科学抽象以观察和实验中获得的感性材料为基础,包含相互联系又相互区别得两个阶段:从"感性的具体"到"抽象的规定";从"抽象的规定"上升到"思维中的具体".
科学抽象在科研中具有重要作用,要善于观察和实验,又要善于运用理论思维,进行正确的科学抽象,二者要结合起来.

逻辑思维与判断;逻辑思维是反映同类客观对象一般的本质属性的思维形式.
逻辑判断是对某种对象加以肯定或否定的思维形式.
逻辑推理是在判断的基础上,运用逻辑规律,使已知判断发展到未知的判断的思维过程.其目的在于更好的把握概念和判断,揭示判断间的必然联系.

比较与分类:比较方法是确定客观对象的共同点和差异点的逻辑方法.
根据比较对象具有同一性和差异性来分,分为同类比较法和异类比较法;
根据比较对象的历史发展和相互联系的观点,比较法可分为异期纵向比较法和同期横向比较法;


根据比较对象的整体性与局部性,分为宏观比较法和微观比较法.
分类方法是根据对象的共同点和差异点,把事物划分为不同种类的逻辑方法.分类根据人类认识发展的过程可分为现象分类和本质分类.

归纳,演绎的概念及联系:
归纳法是从个别事实中概括出一般原理的思维方法.归纳法由推理的前提和结论两部分构成.前提是若干已知的个别事实;结论是从前提中通过推理而获得的一般原理.
根据归纳前提是否完全,分为完全归纳法和不完全归纳法.完全归纳法结论可靠,不完全归纳法的实用性强.
根据是否运用因果规律,分为简单枚举归纳法和科学归纳法.简单枚举归纳法由于归纳不全,难免"以偏概全",其结论由于具有某种程度的或然性而具有不确定性.
归纳法的缺点是缺乏严格的逻辑性,优点是为所有知识奠定了基础.
演绎法是从一般原理出发推出个别新知识的推理方法.演绎推理结构是三段论式,即大前提(已知的一般原理),小前提(个别事实与一般原理的关系),结论(用已知原理推断个别事实).演绎法是进行证明和反驳的一种有效的逻辑工具,是一般原理运用于具体事实进行推论并作出科学预见,提出科学假说和发展科学理论的必要环节.
演绎法的缺点是所得到的只能是在更一般的原理,公理前提下的正确结论,优点是可以见微知著,由远知近.
归纳与演绎是辩证的统一,二者缺一不可.归纳是以演绎为先导,演绎以归纳为前提.因此必须防止把两者割裂开的形而上学观点.

分析,综合的概念及其辩证关系:
分析法就是把整体分解为部分,把复杂的事物分解为简单的要素,然后分别加以研究的一种思维方法.
综合法是把研究对象的各个部分,方面和因素的特点,性质联系起来考察,从整体上去认识和把握研究对象的一种思维方法,
分析与综合按其思维方向是相反的,但是而这又是辩证统一的.没有分析就没有综合,分析与综合是统一的,这种统一性就在于,分析是以整体为基础,分析不是目的,分析是为了综合.认识部分是为了认识整体,在分析时要以整体作为指导思想.综合是建立在分析的基础上,只有对整体的各个部分及各要素分析清楚,综合才有新内容.分析与综合在一定条件下相互转化.这种转化,一是说认识事物总是从分析走上综合,又在综合基础上进行新的分析,使认识不断深化.二是说在一定条件下的分析可以看作为一条件下的综合,一定条件下的综合又可看作另一条件下的分析.

创造性思维:
1,创造性思维是指有创见的思维过程;它不仅能把握事物发展的本质,而且进一步提供具有新价值的思维成果.
2,创造性思维的特点:思维方向的求异性;思维结构的灵活性;思维结构要灵活多变,思路及时转换变通;思维过程的突发性;思维效果的整体性;思维表达的新颖性;
4,创造性思维的形式:想象:想象是在已有的事实材料和知识的基础上,经过新的加工,排列和组合而创造新形象或引发新联想的思维活动.直觉:直觉是创造性思维的一种形式,它是对事物本质在长期思考的基础上的顿悟,表现为对事物底蕴的迅速揭开,对现象奥秘的迅速发现.灵感:灵感是指在创造活动中,长期未解决的问题,由于某种诱因的作用,忽然大彻大悟,豁然开朗的飞跃性思维现象.
4,创造性思维的培养:丰富知识结构,开阔视野;提高联想思维能力;养成独立思考的习惯;摆脱习惯性思维程序的束缚.





科学假说的定义及其重要作用:在科学研究中,人们以一定的事实资料为基础,以已经掌握的科学知识或经验知识为依据,通过理论思维的能动作用,对于研究对象的本质和规律所提出的猜测和推断,就称为科学假说.科学假说具有一定的事实基础和知识依据,同时它也具有一定的猜测性和或然性.另外它还具有一定的条理性和理论性.
科学假说的重要作用:
1,科学假说是科学发展的一般形式.可观察和实验的结果,事实资料的积累,不能自然而然的导致科学理论的建立,只有通过科学假说这个中间环节,科学认识运动才能由事实资料的积累达到科学理论的创立.所以,科学假说是科学发展的一般形式和必经途径.


2,科学假说对科学研究的指导作用.科学假说的提出进一步确定了继续进行观察和实验的内容,方法和方向,指引着科学研究的深入和发展.在某一学科领域提出的科学假说,对于该领域在观察和实验中所继续获得的事实资料的理解具有一定指导意义.科学假说对于其他领域的研究工作具有一定的启发和指导意义,成为其他学科领域研究工作的一般方法或理论工具.
3,重大科学假说引起自然科学革命.在科学研究中,一些重大的科学假说的提出和建立,往往是突破了传统的理论观念的束缚和局限,突破了原有的科学理论已经达到的水平和界限,预示着新的突破性的科学理论的创立,从而引起自然科学发展中的革命性变革.
4,著名科学假说对科学家的吸引和鼓励作用.
5,错误假说的积极作用.在错误假说的指导下进行了长期的观察和实验,收集整理了大量的事实资料,为以后提出新的假说和建立新的理论奠定了事实资料的基础.有些假说虽然是错误的,但只要我们对其加以改造,就可以使错误的假说变成科学的理论.有些错误假说运用错误的概念,却正确地表达了事物的真实内容,客观联系和规律性过程,建立了科学的定理和定律.对错误假说的研究提高了人们的研究水平.

科学假说形成的原则:
1,条件具备原则:
这一原则是指假说形成的客观条件的成熟程度与假说形成时机的适时把握.当条件相对成熟时,就应当不失时机的去提出和建立科学假说,否则,就会落后于他人,落后于科学的发展,如果条件不成熟,就应当积极主动的去创造条件,而不能消极等待.否则,条件不具备,难以形成正确的假说,甚至会导致毫无事实基础和科学依据的臆想.
2,超越事实原则:
这一原则是指在科学假说形成过程中要善于运用理论思维的能力去超越有限事实资料的局限的能动性原则.必须以有限的事实资料为基础,充分发挥理论思维的能动作用,善于超越有限事实资料的局限,才能透过有限事实的表面现象而猜测出整个研究领域的普遍本质,才能透过有限事实的个别联系而判断出整个研究领域的一般规律.
3,简单性原则:
这以原则是在表述科学假说的过程中应注意遵循的基本原则,它力求运用尽可能少的概念和公理概括尽可能多的事实和现象,使科学假说的内容结构简单明确,逻辑结构严谨完美.
4,继承与突破原则:
这一原则反映了科学假说同原有科学理论和已知科学事实的关系.科学的发展具有历史继承性,每一时期创立的经过观察和实验检查的科学理论,既是相对真理,同时又包含着绝对真理的成分.新提出的科学假说不应与已经证实了的科学理论和已知的科学事实相矛盾,只能是限定原有科学理论的适用范围和成立条件.科学的发展又是由相对走向绝对的,每一时期所创立的科学理论既包括着绝对真理的成分,同时又具有相对性,还要继续丰富和发展.
5,可验证性原则:
科学假说形成以后,应当具有原则上的可验证性,这是保证假说的科学性的重要条件之一.

科学假说的间接验证.
1,简介验证法是通过科学观察和科学实验直接的观测由科学假说所引起的推论,并以对科学假说的逻辑推论的直接观测的结果去间接的检测和证明科学假说.
2,一般的方法是:
由科学假说推演它的逻辑推论;
根据现有技术手段与创造新技术手段的可能,设计和进行相应水平的科学观察和科学实验,以直接的观察科学假说的逻辑推论;以科学假说逻辑推理的直接观测结果去间接检验和证明科学假说.
其关键在于:引出的推论要合乎逻辑,科学假说与它的推论要有内在的联系;直接观测科学假说的逻辑推论的技术的可能性.
3,由科学假说的逻辑推论的具体内容的不同,简介验证法的形式:
从直接观测科学假说成立所必然的结果上去验证;
从直接观测科学假说成立所必然的本质特征上去验证;
从直接观测科学假说成立上去验证;
从直接观测由假说所作的科学预言去验证.
4,简介验证法有两个特例:反证法;替代法.对于科学假说的验证,尤其是间接验证,往往是一个历史的过程.






科学理论的基本结构


科学理论的深化途径:
1,本质属性的量化与精确:在科学研究中,通过对研究对象进行定量的科学观察和科学实验,并在思维过程中进行定量的分析和综合,可以揭示研究对象定量的属性和关系,使原有科学理论所定性的描述的研究对象的本质属性和规律性的联系得到定量化和精确化的表述,从定性理论经定量的实验分析和思维抽象发展到定量理论.从而,使原有的定性的科学理论得到进一步的深化.
2,本质方面的补充与综合:
原有科学理论可能只揭示了研究对象内在本质的某一个或某几个方面,因而具有一定的片面性.通过对研究对象进行更全面的实验分析,积累了研究对象的新的事实资料,揭示出了研究对象的新的本质方面,并通过理论思维的能动作用进行更全面的抽象和辩证的综合,以补充原有科学理论所欠缺的研究对象内在本质的有关方面,进而达到比较全面的认识,是片面性理论经全面分析和辩证综合发展到全面性的科学理论.或者是全面的分析原有的各种科学理论的片面性,从而更全面的揭示出研究对象的内在本质,是片面性的理论经过全面分析和辨证综合而达到全面性的科学理论.
3,本质层面的突破与深入:
在科学研究中,人们借助于更先进的物质技术手段,设计和进行更高水平的科学观察和科学实验,对于研究对象进行更深入的实验分析,突破原有科学理论对于研究对象已达到的观测层次和认识界限,深入到研究对象内部的更深层次并通过理论思维的能动作用进行更深刻的抽象,揭示研究对象内在本质的更深层次,建立更深刻的反映和揭示研究对象内在本质的科学理论.
4,本质范围的限定与扩展:
随着科学研究领域的扩展,揭示了更广泛的研究领域的本质与规律,创立了更普遍的科学理论.
5,本质内容的修正与准确:
通过对于研究对象进行更准确的实验分析和严密的思维抽象,不仅揭示了原有科学理论的近似性或不准确性的原因和表现,而且更准确,严密的认识了研究对象的本质和规律,从而进一步的修正原有理论的近似性,使近似理论经准确的实验分析和严密的思维抽象发展到准确,严密的科学遛鸟.
6.本质含义的更正与重述:
随着科学研究的深入进行和新的事实资料的不断积累,以及科研人员良好的思维品质,创造性思维能力和辨证的思维方法的充分发挥和运用,最后总会达到正确的揭示研究对象的本质和规律,从而更正原有错误理论所表述的本质含义,并对研究对象的本质和规律重新进行表述,创立起科学的理论.

系统:系统是由若干基本要素以一定的方式相互连接成的,具有确定的特性和功能的有机整体.
1,系统的基本类型:
根据各具体系统所属的领域不同,可相应的划分为自然系统,社会系统和思维系统.
根据各具体系统与其外部环境相互联系和相互作用的方式和程度的不同,可相应的划分为开放系统,封闭系统和相对独立系统.根据人们对于各种具体系统的构成,状态,过程与规律等方面的认识程度的不同,可以相应的划分为黑色系统,白色系统和灰色系统.
2,系统的基本特征:
系统的可分性:任何系统都能够分解为若干基本要素;不可分解为若干要素的系统是不存在的,可分性是系统的共同属性之一;系统的结构性:任何系统,不论是自然系统,还是社会系统与思维系统,其构成的若干要素之间都具有相应的联系方式,即都具有相应的内在结构;结构性是任何系统所共同具有的普遍的属性和特性;
系统的整体性:系统虽然是由要素构成的,但它不是要素的杂乱堆积和简单拼凑,而是各要素的有机结合而形成的统一整体;
4,系统的层极性:
任何系统与其他相关系统的结合,形成更大的系统,而系统自身就成为这个更大系统中的一个特定层次的子系统(或要素),系统又是由若干子系统所构成的,子系统又是由若干更低层次的子系统所构成的;
5,系统的相关性:
系统作为若干要素以一定方式相互连接成的,并处在一定外部环境中的有机整体,具有突出而普遍的相关性.在要素,结构,系统整体,外部环境之间形成了各种相关性的链条,即相关链;
6,系统的普遍性:系统作为自然,社会和思维领域中的事物,现象及其联系和过程的高度抽象和概括,具有普遍性.



六、归纳推理
　　 
(一)什么是归纳推理
　　 
归纳推理的前提是一些关于个别事物或现象的命题，而结论则是关于该类事物或现象的普遍性命题。归纳推理的结论所断定的知识范围超出了前提所断定的知识范围，因此，归纳推理的前提与结论之间的联系不是必然性的，而是或然性的。也就是说，其前提真而结论假是可能的，所以，归纳推理乃是一种或然性推理。

拿任何一种草药来说吧，人们为什么会发现能治好某种疾病呢?原来，这是经过我们先人无数次经验(成功的或失败的)的积累的。由于某一种草无意中治好了某一种病，第二次，第三次，……都治好了这一种病，于是人们就把这几次经验积累起来，做出结论说，"这种草能治好某一种病。"这样，一次次个别经验的认识就上升到对这种草能治某一种病的一般性认识了。这里就有着归纳推理的运用。　

(二)归纳推理与演绎推理的区别和联系
归纳推理与演绎推理的主要区别是：首先，从思维运动过程的方向来看，演绎推理是从一般性的知识的前提推出一个特殊性的知识的结论，即从一般过渡到特殊；而归纳推理则是从一些特殊性的知识的前提推出一个一般性的知识的结论，即从特殊过渡到一般。其实，从前提与结论联系的性质来看，演绎推理的结论不超出前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系是必然的，即其前提真而结论假是不可能的。一个演绎推理只要前提真实并且推理形式正确，那么，其结论就必然真实。而归纳推理(完全归纳推理除外)的结论却超出了前提所断定的范围，其前提和结论之间的联系不是必然的，而只具有或然性，即其前提真而结论假是有可能的。也就是说，即使其前提都真也并不能保证结论是必然真实的。　

归纳推理与演绎推理虽有上述区别，但它们在人们的认识过程中是紧密的联系着的，两者互相依赖、互为补充，比如说，演绎推理的一般性知识的大前提必须借助于归纳推理从具体的经验中概括出来，从这个意义上我们可以说，没有归纳推理也就没有演绎推理。当然，归纳推理也离不开演绎推理。比如，归纳活动的目的、任务和方向是归纳过程本身所不能解决和提供的，这只有借助于理论思维，依靠人们先前积累的一般性理论知识的指导，而这本身就是一种演绎活动。而且，单靠归纳推理是不能证明必然性的，因此，在归纳推理的过程中，人们常常需要应用演绎推理对某些归纳的前提或者结论加以论证。从这个意义上我们也可以说，没有演绎推理也就不可能有归纳推理。　　

(三)观察与实验
　　 
归纳推理是一种由特殊性知识的前提得出一般性知识的结论的推理。当然，人们在进行归纳推理的时候，总是先要搜集到一定的事实材料，有了个别性的、特殊性的知识作为前提，然后才能进行归纳推理。而搜集事实材料则必须运用经验的认识方法，主要是观察和实验的方法。　

　 
1.观察　　 

人们在对象或现象的自然状态下，有目的地通过感官去研究对象或现象，这就叫做观察。

为了使观察获得的材料比较可靠和比较准确，还应注意两个问题：

(1)必须坚持观察的客观性和全面性，切忌主观的随意性和片面性。

(2)尽可能地借助于有关的仪器设备来进行，以克服感觉器官认识的局限性。　

　 
2.实验　　 

人们在控制对象或现象的条件下，有目的地通过感官去认识对象或现象，就叫做实验。具体而言，实验是人们根据研究的目的，利用科学食品、设备，人为地控制或模拟自然现象的条件，排除干扰因素，突出主要因素，在相对的纯粹状态下研究自然现象的认识活动。

例如，要研究某一植物在某种条件下对具有一定酸碱度的土壤的适应情况，人们可以在实验室中，人为地控制大自然对植物生态的影响，只就酸碱度这一特定的因素进行考察。　

　 
实验是自然科学研究中最基本的研究方法。它和观察比较起来有以下优点：

(1)实验可根据研究工作的需要，使被研究的对象或现象在极其纯粹的状态下再现出来，并借助于人工的隔离条件，使其依照一定的顺序，不断地重复出现。这就便于人们观察某种对象或现象的发生过程以及对象或现象间的因果关系。


19830825born ：
科学方法论基本上等于是要回答什么是科学的问题。
这篇文章急于进行定义和命名，没说到点上，也没说清楚�

自然辩证法的书里有比较详细的说明

本帖对科学方法进行了一定的归纳总结，总体来说非常不错，因此加为精品帖�

ddddddddddddddddddddd

第三章　数学中使用的一般科学方法
引　言（第三章　数学中使用的一般科学方法） 

第一节　数学中的观察与实验 

第二节　数学方法不等于逻辑方法——数学直觉 

第三节　数学猜想的一般方法——归纳与类比 

第四节　数学证明方法 

第五节　数学证明的一般方法——化归与逻辑 

引　　言
　　
在当前出版的数学方法论著作中，大量介绍一般的科学方法，例如分析与综合，归纳与演绎，化归，类比，比较，分类等等。这些方法不仅数学中使用，而且所有的科学都使用。严格说来，把它称为数学方法，未必精当。 　　

如前所说，数学的研究对象是形式化的思想材料，尽管它起源于经验，有的直接依赖于经验，但毕竟舍弃了事物的具体内容。因此，数学在使用一般科学方法时，必然有所侧重，具有自己的特点，这是本章所要阐述的内容。 　　

另一方面，中国数学教育界过分偏重形式，强调逻辑思维能力，忽视了数学的活的灵魂，对于使用逻辑方法以外的科学方法，不予重视，似乎应该加以讨论。最近西南师范大学著名数学教授陈重穆先生提出“淡化形式，注重实质”的口号，发人深省，也将在此一并引述和讨论。 

第一节　数学中的观察与实验
　　
一般的科学方法中，观察和实验是收集科学事实，获取感性经验的基本途径，是形成、发展和检验自然科学理论的实践基础。但是，数学方法论著作少提及。那么，数学中是否要使用“观察”和“实验”方法呢？答案当然是肯定的。 　　

20世纪最伟大的数学家冯·诺依曼（L.J.Von Neumann）指出“大多数最好的数学灵感来源于经验”，“在一门数学远离其经验之源而发展时，存在着一种危险，即这门学科会沿着一些最省力的方向发展，并分为为数众多而又无意义的支流。唯一的解决办法是使其回到其本源，返老还童”（本章引文大多转引自《数学家谈数学本质》，以下不一一注明）。 　　

这种危险在中国数学界恐怕也存在着，阿蒂亚则具体地说，在抽象代数，泛函分析，点集拓扑中的一部分，“人们会看到公理化方法的最恶劣的表现”。而在中学数学教育中，那种粉饰雕琢，无病呻吟的习题，也早已离开实践经验很远很远。忽视应用，导致我们中学生只会“已知－求证”式的逻辑证明范式，而对现实情景进行观察和实验的数学能力，对不起，失落了。 　　

1840年，英国的亚当斯（J.C.Adams）和法国的勒维烈（Leverrier）同时用数学方法发现海王星的故事是大家都熟悉的。他们所使用的数学方法，应该是观察和思想实验方法。亚当斯等天文学家观察到天王星的运行有“失常”现象。于是猜想天王星之外还有一颗行星 x。他先假设 x 的运行轨道为圆，结果与观测结果出入很大。于是他又作一个思想实验，设想 x 的运行轨道为椭圆，再进行计算，误差缩小，再作一次次的假想实验，反复修正，逐步逼近观测结果。勒维烈做了同样的工作，他把结果寄给柏林天文台，信中写道：“请把望远镜对准黄道上经度为 326 度的地方，你会看到一颗九等小星”。最后的实践检验完全证实了这一点。 　　

面对观察得来的数据，设想一个思想实验，看看实验结果是否与观察结果相符合，多次实验终于得到结论。这种数学方法是一般科学方法――观察与实验在数学中的体现。 　　

布尔巴基（Bourbaki）学派的灵魂人物韦依（A.Weil）说，数学家可以分为理论数学家和实验数学家，费尔马（Fermat）是理论数学家，而欧拉则是实验数学家。一个实验也许是对 100 以内的整数验证一个数论命题（如果只用笔与纸），现时用计算机可以对1000亿（）以内的整数作实验。这种实验的结果自然不能代替证明，但已可作为学术成果而发表。 　　

一个例子是关于棱锥数（形如为自然数）的问题。杨武之在1928年证明，任何自然数都可以表为9个棱锥数之和。1952年，Watson将它减至“8个”。1968年，H.E.Salzer和N.levine用计算机推得，凡小于452，479，659的整数都可表为“5个”棱锥数之和。文章发表在《Mathematics of Computation》杂志，第22卷，191页上。杨振宁用高级计算机将可表为“5个”棱锥数之和的正整数上界，进一步提高到以上。他和邓越凡合作的这一结果已在《中国科学》1993年4月号上发表。 　　


3．将数学理论用于现实问题，求得进一步发展。 　　

应用数学家在1、3两部分做工作的居多，而纯粹数学家则主要在第2部分工作。一个优秀的数学家会根据自己的“数觉”，运用科学方法，提出好的数学问题，设定数学猜想，以便作深入研究。问题 选得好坏，猜想是否合适，是决定数学创造的关键，也是数学水平高低的分野。作为数学的学习者，哪怕是中小学生，也必需掌握这种提问题、设定猜想的本领，培养自己的创造能力。 　　

数学家拉普拉斯说过：“甚至在数学里，发现真理的工具也是归纳和类比。” 　　

归纳是从个别事实中概括出一般原理的科学方法，归纳法中有完全归纳法和不完全归纳法之分。 　　

完全归纳法在数学中常用。例如，证明三角形的三条高交于一点，你必需分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这样三种情况加以论证。将这三种情况的共性归纳出来，就得一般的定理。这种归纳包括了所有可能的情况，因而称为是“完全”的。另外，数学归纳法也是一种完全归纳法。完全归纳法可以认为是一种演绎法，从内容上并没有扩展。 　　

我们这里要着重说明的是不完全归纳法。它能从个别事实中看到真理和端倪，受到启发，提出假说和猜想。著名的哥德巴赫猜想就是归纳得出的。1742年，德国数学家哥德巴赫（Goldbach）根据奇数77＝53＋17＋7，461＝449＋7＋5＝257＋199＋5等个别例子看出，每次相加的三个数都是素数，于是他提出猜想：所有大于5的的奇数都可以分解为三个素数之和。他将此猜想告诉欧拉，欧拉肯定了他的想法，并补充提出：4以后每个偶数都可以分解为两个素数之和。这二者后来即称为哥德巴赫猜想。我国陈景润对此证明作了重大推进，但至今尚未最终解决。 　　

人们看到，一元二次方程可以用根式求解，三次和四次方程也能用根式求解，于是猜想一般的 n 次方程也一定能用根式求解，然而这一猜想是不正确的。为了否定这一猜想，伽罗瓦（E.Galois）创立了群论，阿贝尔（N.H.Abel）证明五次及五次以上方程一般不能用根式求解。 　　

欧拉的多面体公式： 

顶点数V＋面数F－棱数E＝2， 

也是通过考察几个特例归纳出来的。许多人给以证明，加以肯定，但都有漏洞。后来一一加以补救，最后肯定了这一猜想（参见拉卡托斯（Lakatos）《证明与反驳》，上海译文出版社）。 　　

在中学数学教学中，也经常使用归纳法来培养学生的创造性思维，提出猜想，选择最有希望的证题路径（也是猜想），作“合情推理”，以便求得问题的最后解决。 　　

例2　在周长一定的长方形中，试问哪一个面积最大？ 　　

我们在教学过程中，当然会让学生作猜想。首先想到，也许是正方形最大。今设正方形每边长为1，则面积为1。又设长方形的长边为1.5，短边为0.5，其边长总和也是4，但面积为0.75，小于1。再试短边为0.25，长边为1.75，周长仍为4，但面积又降为0.44，更小。因此，猜想以正方形最大是有根据的（归纳的根据）。 　　

然后，设法求证，构作此几何问题的代数模型，与为长方形的两边之长，周长为（定数），则求时的最大值，即求的最小值。配方后知 。 

故当时上式取最小值，此时，即当长方形为正方形时所围面积最大。 　　

例3　设有数列，，且，求通项。 　　

解：， 　　　　。 　　由此，归纳地得出 。 　　

这就提出了猜想。它的证明用完全归纳法（数学归纳法）即可得到。 　　

下面，我们要说到类比。 　　

波利亚在《怎样解题》中指出“类比是一个伟大的引路人”。在提出猜想的过程中，“每当理智缺乏可靠论证的思路时，类比这个方法往往能指引我们前进。” 　　

科学中运用类比方法的例子很多，其基本模式是： 

A 对象具有性质， 

B 对象具有性质， 

而与，与，与相似，则推断 B 也一定有性质 　　

物理学家卢瑟福（Ernest Rutherford）曾将原子内部的情况和太阳系类比，最后得出原子结构的行星模型说，原子极小，而宇宙博大，二者竟如此相像，类比思想确具创造性。 　　


当然，我们可能会问，数学家何必指指点点？老老实实从公理、定理、定义出发进行逻辑推理岂不好？但这做不到。波兰数学家史坦因豪斯（Steinhauss）的一个学生从希尔伯特的几何公理系统出发，证明勾股定理，写下来竟有80页，更令人吃惊的是，如果罗素和怀特黑（A.N.Whitehead）在1910－1913年出版的《数学原理》，从最初的集合概念开始，证明1＋1＝2足足用了300页，这样的证明，谁愿意读？ 　　

有些机械的验证可否让计算机去做？当然可以，但是计算机还得由人加以操作。我国吴文俊教授给出的机器证明在世界上处于领先的地位，但基本上只能证明初等几何的所有定理，离证明全部数学还远得很。况且，1976年，四色定理用计算机证明是对的，但是数学界有争论，计算机证明是不是还算数学证明，计算机错了怎么办？谁去核实？这种证明的价值何在？ 　　

说到这里，似乎都是有关数学证明的“坏话”，那么数学证明的价值何在？首先，数学证明有助于核实真理。数学家的指指点点，是比较严格的，比较符合逻辑的。因而比较可信。其次，数学证明最重要的价值是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解该定理的内容。 　　

对中学数学教育来说，有几点流行的看法需要纠正。第一，中学数学是绝对严格的。第二，中学数学建筑在严格的逻辑推导之上。第三，数学思维能力的核心是逻辑思维能力，真实的情况是，中学数学内容不可能做到绝对严格。中学数学的证明也是“指指点点”，并非三段论式的逻辑演绎。中学数学固然能培养逻辑思维能力，但更重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学观念、数学意识和数学方法。 　　

数学是形式化的思想材料，数学家讲究严密的形式推理，但是学生并不全做数学家，学习数学应该做到适度的非形式化。数学的严谨性是相对，绝对严格是做不到的，单纯提倡数学严谨性，只会束缚学生的数学直觉和数学想象。以为我已有了严谨性，因为你年龄小，不懂，所以才来个“严谨性与量力性相结合”的原则，未免把自己估计得太高了。 　　

数学证明与其他学科的证实有本质不同，它具有更多的形式化特点，更接近于形式逻辑，有更强的可靠性，因而应该让中学生懂得数学证明的价值，并能适度运用。但是，如果我们贬低其他学科的论证，认为都不严格，都不可靠，惟数学独尊，那是害了学生。连物理学家都说“我只需要真相，不需要什么证明”，何况其他？我们的学生毕竟将来绝大多数不是数学家，他们的生活天地中，数学只是很小的一个侧面，让一个人按照数学证明的方式行事，那会是何等的荒唐可笑。 

第五节　数学证明的一般方法——化归与逻辑
　　
数学证明方法千变万化，并无一定之规，一律之法。从一般科学方法的角度看，化归方法和逻辑演绎方法是数学家特别重视的两种方法。 　　

所谓化归方法，就是将一个问题A进行变形，使其归结为另一已能解决的问题B，既然B已可解决，那么A也就解决了。 　　

化归方法不仅数学中使用，其他学科也都采用。比如我们要测量炼钢炉中的高温，用普通玻璃水银柱的温度计无法测量，于是使用热电阻材料，将温度转变为电流，而电流是可以测量的，所以利用热电转换公式，高温也可以测量了。这是将测温问题化归为测电问题。 　　

举一个更通俗的例子，化归和“找出主要矛盾”有关系。比如要发展一个贫困乡村的经济，如果扶贫项目和技术人才都有了，那么这时就归结为一个交通问题：“若要富，先修路”，一旦修好公路，一切问题就都解决了。 　　

但是数学家手中的化归方法更具逻辑特色。原问题的解和新问题的解之间具有十分明确的逻辑关系和数学关系。试举中学数学中的两个例子。 　　

例4　面积问题： 　　

圆面积多边形面积三角形面积矩形面积正方形面积. 　　

例5　二次方程求解： 　　（）. 　　。 　　

这两个例子都是把未知问题归结为已知问题的求解，其方向是由难到易，化繁为简。但各步化简之间的联系十分紧密而清晰。后者实际上是一串同解方程，即保持“解”不变的化归方法，这样的化归不会增解也不会丢解。前者则有明确的数学定理作保证。极限方法，多边形可分割为三角形，三角形可分割为两个直角三角形，矩形可分割为两个直角三角形，全等三角形面积相同等等一系列数学定理保证了化归的有效性。 　　


各种数学问题的证明，多半使用化归法。“善于使用化归法是数学家思维方式的一个重要特点”，这是因为，数学研究对象是形式化的思想材料，有具体的物质内容，所以变换比较自由、容易，又因为它已经充分形式化，而形式的变换较易有明确的逻辑联系，以便从新问题的解找回原问题的解。 　　

数学中的化归方法，更精确些说是关系－映射－反演方法（RMI），我们将在下一章作详细叙述。 　　

数学证明的一般方法可说有三步。第一步是凭“数觉”和经验设计证题的一般思路。第二步是将原问题化归为较易解的，或已经解决的新问题，并找出化归的逻辑线索。第三步则是运用逻辑的演绎方法，将问题解决过程的逻辑要点写下来。 　　

第一步和第二步都要靠数学直觉和数学创造。思路哪里来？化向哪里去？逻辑链条如何连接？这都不是逻辑本身所能解决的。至于第三步，那便是纯粹的逻辑方法了。 　　

逻辑演绎方法是各门学科都采用的，但以数学为最多，而且数学论证只允许演绎逻辑论证（其标准则因时代而不同），不承认不完全的归纳论证，类比论证，实验论证等等（尽管计算机正在突破这一限制）。因此，在教学中重视逻辑论证是完全必要的。 　　

但是，逻辑论证不等于形式逻辑论证。有些著作把数学推理说成就是三段论推理，这是不正确的。除了平面几何中最初几个简单命题可用三段论直接解决问题之外，稍微复杂一些的推理，三段论就不够用了。不要说像的极限定义那样的复杂命题，就是最常见的传递性命题用三段论也解释不了。请看以下分析： 　　

三段论 

大前提：　　人是要死的， 

小前提：　　张三是人， 

结　论：　　张三是要死的。 

这里的主宾语有三种：人，要死的，张三。 　　

再看传递性：且则，若模仿三段论写法，应是 

大前提： 是大于的， 

小前提： 是大于的， 

结　论： 是大于的。 

但是，这里出现，大于，大于，这样四个要素，这不是三段论，这一点，莫绍揆先生在《数理逻辑初步》中早已指出。十多年来，数学教育界未曾注意或被普遍接受，令人遗憾。 　　

20世纪来，由于数理逻辑的发展，演绎逻辑的规律应该遵循数理逻辑语言，而不要再局限于形式逻辑了。 

这里，我们引用美国贝尔（Bell）著的《中学数学的教与学》中提出的9种演绎推理。依我看来，中学数学教学应该用实际例子让学生理解和运用这些逻辑推理，而中学教师则应掌握这些数理逻辑知识。至于三段论，不过是其中很小的一部分，不必那么强调了。以下记为语句，~表示否定，表示推出，横线上面是条件，下面是结论。 　　

（1）假言推理　若真，且若则，则真，记作　　

（2）传递推理　若则，且若则，则若则，记作　　

（3）否定肯定式　若真，且若非真，则非真，记作　　

（4）演绎定理　若由假设及真语句的集合，可推出，则由可推出，记作　　

（5）证逆否命题法　若非则非，则若则，记作　　

（6）列举法　若则，若则，…，若则，则若则，记作　　

（7）数学归纳法　若对自然数1有性质，且对每个自然数，若有性质即可推出有性质，则对每个自然数均有性质，记作　　

（8）举反例法　猜测对，有性质，找到，没有性质，则并非的所有元素都有性质，即猜测错误。记作　　猜测：。 　　反例：且。　　结论：。　　

（9）间接证明法　为了证明：若则，假设由，非真，能推出矛盾（与非皆真），于是间接知道，记作

数学方法学概论
徐利治 

本章将对有关数学方法论的若干基本问题进行概略性的论述,并将扼要地提到本教程所要仔细讨论的某些重要专题. 

§1.1 何谓数学方法论
大家知道,历史上早就有哲学方法论,近现代还兴起了科学方法论,又称"科学学". 事实上每门学科都有它的方法论,数学也不例外.由于数学既是研究一切科学的一种强有力的工具,又是一门深深地影响着人们文化素质的重要学科,所以数学方法论居于一个特别重要的位置.那么,首先要问:什么是数学方法论?研究它的目的是什么?

本书作者之一曾在《数学方法论选讲》一书中提出:"数学方法论主要是研究和讨论数学的发展规律,数学的思想方法以及数学中的发现,发明与创新等法则的一门学问[1] ", 此说法可视为关于数学方法论的一个素朴定义.现在看来,仍然适用.国内一些研究方法论的学者也采纳了这个素朴定义. 

只要同意上述说法,也就能立即回答为什么要研究数学方法论这个问题了.简单地说, 学习和研究数学方法论的目的,无非是为了要正确地认识数学,有效地运用数学,以及很好地发展数学.这里所说"发展"一词,其含义是很广泛的. 

§1.2 数学是怎样的一门科学
正确地认识数学,首先要理解数学是怎样一门科学.历代数学家和哲学家已经对此问题有过长篇累牍的讨论和争论,甚至形成了不同的学派.我们不准备在这里再费篇幅去回顾和讨论这些了.我们只想概略地介绍一下能为多数学者所接受的数学模式.这种模式论是从已故英国数学哲学家怀特海(Whitehead)的最终哲学观点发展而来的. 

按照模式观,数学就是应用抽象的量化方法去研究关系结构模式的一门科学,从而具有不同抽象层次的理想化的关系量化模式(纯粹形式结构)就是数学研究的对象.因此数学不同于一般的自然科学,不能归属到自然科学的范畴中去.又由于数学有其自身的内容和特质, 故又不可能归结为逻辑.近代以罗素(Russell)为代表的逻辑主义方案的最终失败已经说明了这一点.那么,按照模式论观点究竟应该怎样看待数学真理呢 这是很自然地会提出的一个问题. 

§1.3 什么是数学模式真理观
既然数学是研究关系模式的科学,那么,数学的真理性问题也就被归结为模式真理性问题.这就要涉及客观真实性和实践性(实际可应用性)等问题.自然,"客观性"应该作为真理性的一个必要条件. 

说到数学模式的客观性,可以从两个不同的角度来进行考察:第一,合理的数学模式应该是一种具有真实背景的抽象物,而且完成模式构造的抽象过程是遵循科学抽象的规律的. 尽管这里所说的抽象未必一定是建立在现实原型上的直接抽象,而可能是较为间接的或多层次的抽象.因此,我们首先应该肯定数学模式在其内容来源上的客观性;第二,数学模式往往是创造性思维的产物,但是它们一旦得到了明确的构造,就立即获得了"相对独立性", 从而人们就只能客观地对它们加以运用和研究.这很像弈棋规则那样,只要规则既定,棋手们就必须严格遵循,从而棋谱也就成为客观的研究对象.这里所说的模式的客观性可以叫做 "形式上的客观性". 

基于上述两种不同的"客观性"的区分,我们便可引进两个不同的数学真理性概念,即模式真理性与现实真理性.前者是相对于数学模式借助于逻辑定义而获得的稳定的关系结构而言,后者则是指数学模式所具有的现实意义,即是指它们反映了真实世界中的某种关系形式或特征.显然,按照这样的理解,数学的"模式真理性"并不等于"现实真理性".无疑这一区分是必要的,因为现代理论数学的研究对象已不仅是已经给出的(包括具有明显现实意义的)数学构造,而且还包括了理论上各种可能的数学构造,甚至是现实经验中尚未能找到的构造.同时还应看到,数学上的模式真理性常常有可能转化为现实真理性,甚至最终会证实两者的一致性.例如,复数与复变数函数的模式真理性终于转化为现实真理性的发展历史,就是一个最有说服力的例子. 

由概念思维产生的模式,为什么最终能与现实关系相一致呢 也即为什么两者能具有同构关系呢 看来这只能归结到宇宙世界的物质运动规律的统一性的根本原因.