罗素悖论――哥德尔――弗协调逻辑――佛学浅谈

庄朝晖 

  

　        我们面对的重大问题无法在我们制造出这些问题的思考层次上解决。

                                          ――爱因斯坦 

  

写下这个题目，不免有些惊心动魄，这些主题词未免太大了，还好本文只是对这些主题词的相关方面作一些初步的探讨。

  

1．悖论 

悖论自古有之。比较出名的是说谎者悖论：一个人说了一句话：“我现在在说谎”。我们来分析一下这句话是真话，还是谎话。假设这句话是真话，由它的内容所指，则这句话是谎话；反过来，假设这句话是谎话，那么“我现在在说谎”就是谎话，因此他说的是实话。

由这句话是真话，可以推导出这句话是谎言；由这句话是谎话，又可以推导出这句话是真话。这就称为悖论。

更形式化的悖论定义是：“由A可以推导出┐A（A的否定的形式写法），并且由┐A可以推导出A。”

悖论还有很多，如“苏格拉底悖论”、“万能上帝悖论”、中国古代的“矛盾悖论”、“先有鸡先有蛋悖论”、“自由悖论”、康德的二律背反等等。

还有一类跟悖论很相近的命题，我们不妨称之为“自毁命题”。自毁命题的定义是：“由A可以推导出┐A，但由┐A并不能推导出A。”自毁命题具有自毁性质，自毁命题本身是不能成立的，但它的否定却没有约束。

比如克里特哲学家说：“克里特人总是说谎”，这就是一个自毁命题。这个命题与说谎者悖论很相似，但两者并不一样。假设这句话是真话，那么由它所指及这个哲学家是个克里特人的事实，可以推出这个哲学家也总是说谎，这个哲学家现在当然也是在说谎，即这句话是谎言；再看另外一个方向，假设这句话是谎话，也就是“克里特人并不总是说谎”，由此并不能推出矛盾。

再看“世上没有绝对的真理”，这也是一个自毁命题。假设这句话是真的，那么世上就有了绝对的真理，这与话语所指矛盾；假设这句话是假的，也就是“世上有某些绝对的真理”，这并不能产生矛盾。

再如“中国文化一无用处”，这也是一个自毁命题。我们用中文文字来说这句话，这样来看，中文文字就是有用的，也即中国文化的某些东西是有用的，这就与原命题矛盾；反过来，这个命题的否定也并不能产生矛盾。

《五灯会元》里有长爪梵志与佛陀的辩论，长爪梵志的立论命题是“什么都不接受。”佛陀就问道：“那你接受不接受‘什么都不接受’这个观点呢？”长爪梵志无言，只好认输。这也是一个自毁命题。

自毁命题也还有很多，比如“真理是不可言说的”，“墙上不准写字”，“我没有在说话”，“我现在在睡觉”。

另外，还有一类“自成命题”。自成命题的定义是：“A并不可以推导出┐A，但由┐A可以推导出A。”自成命题具有自成性质，自成命题的否定将导致矛盾的，但它的肯定却没有约束。比如哥德尔语句，就是自成命题。

悖论与自毁命题、自成命题的一个区别是：自毁命题的名词常常包含有一个全称量词的限制。

悖论与自毁命题、自成命题的相同之外就在于矛盾性，也即不一致性。悖论在肯定和否定命题两个方向都会产生矛盾，而自毁命题在肯定命题时会产生矛盾，自成命题在否定命题时会产生矛盾。自毁命题只能假，自成命题只能真。

  

2．罗素悖论 

悖论里面最出风头的要数“罗素悖论”，他直接引起了“第三次数学危机”，撼动了整个数学的基础。

以下，我们介绍一下“罗素悖论”。如果集合具有自己属于自己的性质，那么我们称这个集合是“自吞的”，比如所有集合的集合。现在假设T是所有不自吞集合的集合。那么请问T是否是自吞的？如果说T不是自吞的，那么T将属于自己，那么T就是自吞的。如果说T是自吞的，那么T便具有T内元素的性质“不自吞”，即T是不自吞的。

“罗素悖论”的通俗形式是“理发师悖论”：一个理发师声称他只给不为自己理发的人理发。那么问题来了，这个理发师是否给自己理发？如果他不给自己理发，那么按照他的声称，他应该给自己理发。如果他给自己理发，那么他便具有“不为自己理发”性质的，也就是他不为自己理发。