当然以上是假设甲队(主场数多的球队)实力更强,那么如果乙队实力更强呢?
当然这种情况不多见,因为NBA季后赛每组对阵的主场数是根据两队常规赛成绩决定的,谁常规赛成绩好,谁会获得更多的主场数。如果乙队实力更强,那么乙队为什么不在常规赛多赢一些场次,让自己获得主场优势?
不过NBA季后赛“实力颠倒”的情况还是有一些的,所以还是算一下实力较弱的一方的主场数多的情况下,现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率(比起两队实力相同的情况)有没有可能更大一些。
依然考虑强队客场胜率提高多少个百分点,主场胜率也提高多少个百分点的情况,设原本甲队主场获胜的概率为ρ,客场获胜的概率为1-ρ,现在乙队实力增强,甲队主场胜率变成了ρ-b,客场获胜的概率变成了1-ρ-b,再设新的0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率为P3,则:
将⑴式和⑸式对比,可以发现如果实力较弱的球队主场数更多,则出现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率高于双方实力相同的情况下出现这种情况的概率是有可能的。
以ρ=0.6为例:
若b=0,则P3=0.013824(即P);
若b=0.06,则P3≈0.013846(相比于P增大了);
若b=0.1,则P3=0.013125(相比于P减小了)。
甲乙两队原本实力相同,如果后来乙队实力提高了,客场胜率提高了六个百分点,那么乙主场胜率也提高六个百分点应该比较合理吧!
或者乙主场胜率提高的百分点数大于客场胜率提高的百分点数,比如客场胜率由0.4提高到0.43,主场胜率由0.6提高到0.64,这样P3=0.013841(还是增大了)。
所以考虑主场优势,如果实力较弱的一方获得较多的主场数,理论上有可能提高出现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率。
当然,实力差距不能太大,比如乙队主场胜率由0.6提高到了0.7(此时b=0.1),则客场胜率无论由0.4提高到多少,P都不会大于0.013824了(提高到0.5是最有利的情况,而这种情况下P3=0.013125<P)。
而两支球队有实力差距,但实力差距很小的情况属于正常情况,而这次没必要客场胜率提高某个百分点,主场胜率提高只提高更少的百分点了,所以靠实力较弱的一方获得较多的主场数来提高出现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率是有一定可行性的。
不过这里有两个问题:
1.以上是以ρ=0.6为例算的,如果ρ是其他值(比如0.55、0.65),那么有没有可能乙的主客场胜率都提高较多的百分点(b较大),P3也能大于P?
2.如果ρ是其他值,那么有没有可能存在某个ρ值,使得b无论取多少,P3都不会大于P?
所以需要证明两个问题:
1.在客场胜率提高了多少个百分点,主场胜率也提高多少个百分点的情况下,乙队(实力较强但主场数少的球队)只有在主客场胜率都提高得较少(b取较小的值)的情况下,才能让0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率提高(必要性);
2.在客场胜率提高了多少个百分点,主场胜率也提高多少个百分点的情况下,无论ρ取多少,都存在一个区间,b取这个区间内的值会让0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率提高(充分性)。
先看第一个问题。
P由6个因子相乘:
ρ、ρ、1-ρ、1-ρ、ρ、1-ρ。
P3由6个因子相乘:
ρ-b、ρ-b、1-(ρ-b)、1-(ρ-b)、ρ+b、1-(ρ+b)。
令P的1、5因子相乘的结果为G式,P3的1、5因子相乘的结果为H式,P的2、3、4、6因子相乘的结果为I式,P3的2、3、4、6因子相乘的结果为J式,则P=GI,P3=HJ,则:
这意味着,P的1、5因子相乘的结果大于P3的1、5因子相乘的结果,所以如果想让P3>P,P3的2、3、4、6因子相乘的结果大于P的2、3、4、6因子相乘的结果(即J>I)是必要条件。
I=ρ(1-ρ)(1-ρ)(1-ρ),J=(ρ-b)(1-ρ+b)(1-ρ+b)(1-ρ-b),则:
把I-J视为一个整体,对其求微分:
当b=0时,d(I-J)/db的表达式中所有含b的项都为0,又因为0.5<ρ<1,所以b=0时,d(I-J)/db<0,I-J单调减;
若b=0(这仍然是甲乙实力相同的情况),则I-J=0;若b=1-ρ(这样乙主场胜率将达到100%,P3将为0),则I>0,J=0(J的因子当中有1-ρ-b),I-J>0;
而b的取值范围是0<b<1-ρ,所以对于0.5<ρ<1范围内的任意ρ,在b的取值范围内,I-J一开始会小于0,且逐渐减小(这意味着存在取值较小的b使得J>I),再逐渐增大,最后超过0(这意味着b不能在取值范围内取较大的数,否则就会出现I>J的情况,继而出现P>P3的情况了)。
所以,对于任意0.5<ρ<1,若想让P3>P,只能让b在取值范围内取较小的值(接近0),使得J>I(P3的2、3、4、6因子相乘的结果大于P的2、3、4、6因子相乘的结果);若b在取值范围内取较大的值(接近1-ρ),则J<I,H<G(P3的1、5因子相乘的结果小于P的1、5因子相乘的结果),P3<P。必要性得证。
不过这只是解决了必要性的问题,没有解决充分性的问题——J>I只是为P3>P(即HJ>GI)提供了可能性,在G>H的情况下,是否对于某些特定的ρ值,无论b取何值,P3一定超不过P(即HJ一定超不过GI)呢?
再看第二个问题。
也就是说,P-P3的表达式可以转化为一个六项式,第一项是b的一次幂项,第二项是b的二次幂项……第六项是b的六次幂项;而
这意味着,对于0.5<ρ<1范围内的任意ρ,总能存在足够小的b值,使得另外五项之和的绝对值小于b的一次幂项的绝对值;
这样,对于0.5<ρ<1范围内的任意ρ,总存在某个b0(哪怕b0非常接近0),使得b在0<b<b0的范围内时,P-P3的正负完全取决于b项系数的正负;
由于0.5<ρ<1,所以1-2ρ<0,所以P-P3的表达式中,b项的系数一定小于0;
所以对于0.5<ρ<1范围内的任意ρ,总存在某个b0(哪怕b0非常接近0),使得b在0<b<b0的范围内时,P-P3<0。
充分性得证。
总之,如果甲乙两队原本实力相同(主场胜率都是ρ),甲队主场数多,后来乙队实力增强了(当然,也可以说换成实力更强的乙+队),主客场胜率都提高了,若乙队客场胜率提高多少个百分点,主场胜率也提高多少个百分点,则必然存在某个实力差距(乙队主客场胜率都增加b或100b个百分点),使得出现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率(相比于甲乙两队实力相同)更大,而这个实力差距只能较小,不能太大。
所以这次(实力增强的球队)主场胜率提高某个百分点,客场胜率确实没必要提高更多的百分点,所以靠实力较弱的一方获得较多的主场数来提高出现0:3落后的情况下4:3反超的情况的概率确实有一定的可行性。
但如果真实情况是客场胜率提高多少个百分点,主场胜率只能提高更多的百分点,且不能是0.04对0.03(客场胜率从0.4变成0.43,主场胜率从0.6变成0.64)之类的小差别的话就不一定能做到了,比如原本甲乙双方主场胜率都是60%,乙实力增强了,客场胜率增加100b个百分点,主场胜率就会增加至少300b个百分点的话,P3将必然小于P(计算过程从略)。