我个人感觉你的例句run someone into the city有点奇怪，虽然我不能断定它错，但是真的感觉别扭，至少我读过那么多原著，看过那么多影视作品，没遇到过这样的表达。

1. run into是撞上、碰见，这个和run into没关系。这里的run就是指开车送、捎上。run sb into the city，开车送xx进城。
2.lift指便车，和in不是连着的，后面省略了the city.
这句话要整体理解：你要是想搭便车(进城)，我明天正好开车送我妈进城。
将来进行时表示在将来发生某种不含意愿因素的动作。这里的“你搭便车”显然不是“我送我妈进城”的原因，所以没有意愿因素，因此用将来进行时。

be going to表将来时，be doing表进行时

我的想法是lift in不一定是个短语，lift名词意思是搭便车，这里in后面可能省了the city.

1.口语中常用将来进行时表示计划好的事情。
2.只能查到want a lift这样的用法，至于这里是in，个人认为只是顺嘴，表示“你想进来吗”这样更强烈的邀请语气。

1. run和into是分开的。run有“开车送…”的意思。run my mom / into the city=开车送我妈进城。
2.lift和in也是分开的。lift有“便车”的意思。in后面省略了in the city，做lift的定语。
3.将来进行时表示不含意愿因素的将来。听起来很复杂，看两个例句就懂：
A.I will run her into the city tomorrow if you want a lift.
(你要是想搭便车，我【就】开车送我妈进城。言外之意，是“搭车”这个条件引起了“送人”的意愿，你不搭车我就不会送人。)
B.I will be running her into the city if you want a lift.
(你要是想搭便车，我【正好要】开车送我妈进城。言外之意，两件事相互独立，你搭不搭车，我都会送我妈，不是搭车这个条件引起了意愿）。
例句显然指后者，所以用将来进行时。

将来时间点的进行时
副词

1将来进行时 不过这个表达比较偏向口语
2 if you want a lift in （this run）
省略了一部分
总体是个偏口语的句子 不要那么纠结

①这个句子中，“I'm going to be running my mother into the city tomorrow morning”使用了将来进行时（future continuous tense）。这种时态通常用于表示在将来的某个时间正在进行的动作。在这里，它强调了在明天早上的特定时间段内，你将会正在进行一个动作——开车送你的母亲进城。使用进行时可以更具体地描述在那个时间点你将处于的动作状态
相比"going to run" 是简单将来时（simple future tense），它只表示将来某个时间会发生的动作，但不强调该动作是否会在那个时刻持续进行

太棒了 学习了很多！

be gonna be doing强调吧