从闵氏几何出发会比较好。爱因斯坦没搞清楚闵氏几何前，也是一团乱麻

你在一个二维笛卡尔坐标系中只能表达一个平直的二维曲面，如果你想表达一个二维曲面（比如半球面，或者马鞍面）就要镶嵌在三维中才能直观感受。但是我们可以通过投影的方式把曲面投影到平面来研究曲面的性质。曲面上线段的长度和投影到平面上线段的长度通过曲率关联。这个曲率最终会体现在黎曼度规上。
而且对于遥远星系我们所能看见的，也就是遥远星系的弯曲时空在我们所处的平直时空的投影。但广相我看得不多，没发为你具体推导协变式。

遇到自己研究过的问题忍不住要说一下。论文的题目说的是论动体的电动力学，实际上洛伦兹变换变换的是事件的时空坐标，跟动体本身的时空坐标没什么关系。其实我们在伽利略牛顿时代还是有动体的时空坐标变换的。这一点是毫无疑问的。我们甚至可以把动体的时空坐标和事件的时空坐标相等价。但是到了相对论之后，就只有事件的时空坐标了。并且再也不提动体的时空坐标变换了。搞清楚这个问题，才能真正搞清楚洛伦兹变换背后的真正依据。

说到光速不变，我们且不去说什么物理，就瞎说八道一下。这个世界上绝对运动的只有一种物质，光。没谁见过静止的光。那么，这个世界就是存在绝对运动。那么自然的就会想到也会有绝对静止，光就是相对于绝对静止系在以固定光速运动。所谓绝对静止就是你觉得静止我也觉得静止。我们在测量光速时是把自己当成相对静止，我们认为光相对于我们以光速运动是个错觉，实际上光相对于绝对静止系以光速运动。你看合理不?

关于动体的时空坐标变换的问题，有点复杂，我专门写了一篇文章，差不多一万字，曾经发表在龙源期刊网和相吧。我会把链接附上。
简言之，动体的时空坐标是观者所赋予的，由于动体的存在具有持续性，单纯的动体的时空坐标要想在众多观者之间达成共识，就必须在时间上先达成共识。就比方说，我看到a时刻的动体，你也必须知道我看到的是同一时刻的动体。或者是相当于a时刻的你的某时刻的动体。（不同参考系时间体系不同），即我们要同时看到此时此刻的动体，才有这一刻的动体的时空坐标。否则我看的是a时刻动体，你看的是b时刻的动体。我们看到的只能是动体的不同发展变化的历史过程中的两个点，那就无法从一个观者参考系变换到另一个观者参考系，因为不是一个时空点。
因为动体的时空坐标变换的第一个依——同时性，被相对论打破了，所以依据同时性来进行动体的时空坐标变换就做不到了。仔细分析洛伦兹变换的依据，并不是同时性。
但是在绝对时空中，由于同时具有绝对性，所以，可以谈论动体的时空坐标变换。

这是《动体的时空坐标变换的两个依据》https://tieba.baidu.com/p/8455034738?share=9105&fr=sharewise&see_lz=0&share_from=post&sfc=copy&client_type=2&client_version=12.59.1.0&st=1714104701&is_video=false&unique=138595A54B8B9912B5814142F6E35674

接上楼。
那动体的时空坐标能否变换呢？
可以。只不过我们需要另外一个依据。
试想一下，如果动体在某一时刻的某个位置上发生了一件确定的事件，那么这个事件的内容将不随参考系变换而改变。那么这就成了坐标变换的依据。无论谁看这个事件，都会对事件的内容达成共识。为什么事件内容会成为依据，那是因为发生过的事件就是被观者的历史，而历史是不变的。关于历史是不变的这个观点，在相对论的固有时概念中有提到。只是没有重视，一带而过。就像说本该如此，没什么大不了一样。而一方面固有时就是随动坐标系的历史，另一方面固有时是随动坐标系上事件的时空间隔。众所周知，时空间隔是不变的，而且仔细分析会发现洛伦兹变换的依据正是时空间隔不变。所以从以上两头分析，最后汇总可知，在不谈时空几何的情况下，洛伦兹变换的依据是历史不变，或者叫历史唯一。